Общая характеристика задачи потокораспределения

Сентябрь 16, 2018 Нет комментариев

До настоящего времени при решении задач потокораспределения для ускорения сходимости итеративного процесса применяют коэффициенты ускорения, являющиеся действительными членами. Однако можно показать, что оптимальное значение со, т. е. такое, которое обеспечивает удовлетворительное решение при минимальном числе итераций, будет комплексным, учет мнимой части которого обычно тем более существен, чем больше число уравнений системы.

Расчеты проводились по методу Ньютона – Рафсона. Как видно из результатов, представленных на комплексной плоскости со, оптимальный коэффициент ускорения есть комплексное число.

Оптимальное ускорение. Рассмотрим задачу определения оптимального значения коэффициента ускорения которое Должно быть рассчитано либо решением, либо в начальной стадии этого решения.

Одним из наиболее простых, но в то же время наиболее эффективных методов, разработанных в линейной алгебре для ускорения сходимости решения системы линейных уравнений или уравнений в конечных разностях (используемых при решении уравнений в частных производных), является ускоренный метод Гаусса-Зейделя. Согласно этому методу матрица проводимостей представляется в виде суммы двух треугольных матриц и диагональной матрицы:

Как следует из (2-97), для сходимости решения уравнения необходимо, чтобы спектральный радиус матрицы Н был меньше единицы. Для обеспечения максимально быстрой (асимптотической) сходимости Л,1 должно быть минимально возможным. Поскольку спектральный радиус матрицы Н является функцией коэффициента ускорения со, оптимальная величина со. будет соответствовать минимуму.

Согласно существующей теории оптимальное значение коэффициента ускорения (со) может быть определено в том случае, если уравнения рассматриваемой системы удовлетворяют следующим двум условиям.

Существует, однако, графический метод, позволяющий выяснить выполнение этого условия, не прибегая к рассмотрению матрицы проводимостей, а рассматривая непосредственно однолинейную схему сети.